hoe noemt in de meetkunde een rechte die met een kromme slechts een punt gemeen heeft |Lees het artikel op onze puzzelnl.khbarmix.com-website om het antwoord te vinden. Dat klopt geheel: het juiste antwoord is raaklijn.

antwoord

Een raaklijn aan een kromme in een bepaald punt is een rechte die de kromme slechts in dat ene punt snijdt en daar dezelfde richting heeft als de kromme. In wiskundige termen: het is de limiet van snijlijnen van de kromme door twee punten, wanneer die twee punten naar elkaar toe bewegen en samenvallen in het beschouwde punt.

Eigenschappen van een raaklijn

1. Uniekheid: Voor een gladde kromme (dat wil zeggen, een kromme zonder hoeken of knikken) bestaat er in een punt exact één raaklijn.
2. Tangentiële richting: De raaklijn is richtinggevend voor de kromme in het raakpunt. Dit betekent dat de helling van de raaklijn gelijk is aan de afgeleide van de kromme in dat punt.
3. Geen tweede snijpunt: In een kleine omgeving rond het raakpunt snijdt de raaklijn de kromme niet opnieuw; ze hebben dus lokaal slechts dat ene punt gemeen.

Raaklijn aan een cirkel

Voor een cirkel met middelpunt $M$ en een punt $P$ op de cirkel geldt:

• De raaklijn aan de cirkel in $P$ staat loodrecht op de straal $MP$.
• De vergelijking van de raaklijn kan worden bepaald met behulp van vectoranalyse of coördinatenmeetkunde.

Raaklijn in de analytische meetkunde

Stel een kromme wordt gegeven door een functie $y=f(x)$. Dan geldt:

• De raaklijn in het punt $(a,f(a))$ heeft als vergelijking:

y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x – a) + f(a)y=f′(a)(x−a)+f(a)

waarbij f′(a)f'(a)f′(a) de afgeleide is van $f(x)$ op $x=a$, en dus de helling van de raaklijn in dat punt.

Voorbeeld

Voor f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2, wat een parabool is, is de afgeleide f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x. De raaklijn in $x=1$ heeft dan:

Helling: f′(1)=2⇒y=2(x−1)+1=2x−1\text{Helling: } f'(1) = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2(x – 1) + 1 = 2x – 1Helling: f′(1)=2⇒y=2(x−1)+1=2x−1

Toepassingen van raaklijnen

• In de differentiaalrekening wordt de raaklijn gebruikt om de instantane verandering van een functie te beschrijven.
• In de fysica beschrijft de raaklijn aan een baan de snelheidsvector van een object.
• In de grafische analyse helpen raaklijnen bij het benaderen van krommen en het inschatten van gedrag van functies.